تمارين على الأستنتاج الرياضي

[قطر الندي وردة]

التمرين الأول :-
1- أستخدم الاستنتاج الرياضي لإثبات أن لأى عدد طبيعي فإن :
4 + 8 + ........ + 4 ن = 2 ن ( ن + 1 )
الحل :-
1- نثبت صحة القانون عندما ن = 1
الطرف الأيمن = 4 × 1 = 4
الطرف الأيسر = 2 × 1 ( 1 + 1 ) = 4
الطرفين متساويين

2- نفرض صحة القانون عندما ن = ك
ج ك = 4 = 8 +........ + 4 ك = 2 ك ( ك + 1 )

3- نثبت صحة القانون عندما ن = ك + 1
نضيف للطرفين الحد الذي رتبته ك + 1
4 + 8 + ........ + 4 ك + 4 ( ك + 1 ) = 2 ك ( ك + 1 ) + 4 ( ك +1 )
الطرف الأيسر ( ك + 1 ) ( 2 ك + 4 )
اذا = 2 ( ك + 1 ) ( ك + 2 ) = ( 2 ك +2 ) ( ك + 2 )
اى ان القانون صحيح عندما ن = ك + 1
اذا فهو صحيح لكل ن

2- أى عدد طبيعي ن فإن ن < 2^ن
الحل :-
1- نثبت صحة القانون عندما ن = 1
ن = 1 فإن 1 < 2^1 صحيحة

2- نفرض صحة القنون عندما ن = ك
ن = ك فإن ك < 2^ك

3- نثبت صحتها عندما ن = ك + 1
ن = ك + 1 بما ان ك عدد طبيعي فإن 1 <= ك
ويكون ك + 1 <= ك + ك
ك + 1 <= 2 ك
والأن ك < 2^ك
بالضرب في 2 نجد ان 2 ك < 2^ك < 2
ك + 1 <= 2^ ك +1
وبما ان الجملة صحيحة عندما ن = ك + 1
وهي بالتالي صحيحة عند قيم ن

[قطر الندي وردة]

التمرين الثاني :-
استخدم الأستنتاج الرياضي لأثبات :
اذا كانت المتسلسلة مجـــ ( ر = 1 ـــــــن ) ( 2 ر - 1 ) فإن ج ن = ن^2
الحل :-
1- نثبت صحة القانون عندما ن = 1
ن = 1 فإن ج 1 = 1^2 = 1

2- نفرض صحة القانون عندما ن = ك

ج ك = 1 + 3 + ......... + ( 2 ك - 1 ) = ك^2

3- نثبت صحة القانون عندما ن = ك + 1
نضيف الحد الجديد الذي ترتيبه ك + 1
ج ك + 1 = 1 + 3 + ........... + ( 2 ك - 1 ) = [ 2 ( ك + 1 ) - 1 ]
= ك^2 + 2 ك + 1
( ك + 1 )^2
أى ان : ج ك + 1 = ( ك + 1 )^2
اذا القانون صحيح عندما ن = ك + 1
اذا فهو صحيح لكل ن

[قطر الندي وردة]

التمرين الثالث :-
أثبت بطريقة الأستنتاج الرياضي أن
1^2 + 2^2 + 3^2 +......... + ن^2 = 1/6 ن ( ن + 1 ) ( 2 ن + 1 )
الحل :-
نثبت صحة القانون عند ن = 1
الطرف الأيسر 1/6 (1 ) ( 1 +1 ) ( 2 × 1 +1 ) = 6 / 6 = 1
نفرض صحة القانون عندما ن = ك
1^2 + 2^2 + 3^2 + ......... + ك^2 = 1/ 6 ك ( ك + 1 ) ( 2 ك + 1 )
نثبت صحة القانون عندما ن = ك + 1
1^2 + 2^2 + 3^2 + ..........+ ك^2 + ( ك + 1 )^2 = 1/ 6 ك ( ك + 1 ) ( 2 ك + 1 ) + ( ك + 1 )^2
الطرف الأيسر
1/6 ( ك + 1 ) [ ك ( 2 ك + 1 ) + 6 ( ك + 1 ) ]
= 1/ 6 ( ك + 1 ) [ 2 ك^2 + ك + 6 ك + 6 ]
= 1/ 6 ( ك + 1 ) [ 2 ك^2 + 7 ك + 6 ]
= 1/6 ( ك + 1 ) ( ك + 2 ) ( 2 ك + 3 )