سلسلة تعليمية - الفيزياء العامة ( الميكانيكا )

[أحمد سعد الدين]

الفيزياء العامة

( الميكانيكا )

[أحمد سعد الدين]

علم القياس

Physics and Measurements



علم الفيزياء هو علم تجريبي يهتم بكشف أسرار الطبيعة، فكل شيء نعرفه عن هذا الكون وعن القوانين التي تحكمه تم التوصل إليها عن طريق القياسات والملاحظات لأي ظاهرة طبيعية. ويعرف علم الفيزياء أيضاً بأنه علم القياس Science of measurements يقول العالم الشهير كلفن "عندما تستطيع قياس ما تتكلم عنه وتعبر عنه بالأرقام فإنك إذاً تعرف شيئاً عنه، ولكنها عندما لا تستطيع التعبير عنه بالأرقام فإن معرفتك في هذه الحالة غير كافية ولكن تعتبر البداية".

Physical Quantity

لتعريف الكمية الفيزيائية Physical Quantity فإنه يجب أولا أن نعرف طريقة قياس هذه الكمية أو طريقة حسابها رياضياً من كميات أخرى. فعلى سبيل المثال يمكن تعريف المسافة والزمن بواسطة وصف الطريقة التي يمكن أن نقيس كلاً منهما، وبالتالي يمكن تعريف سرعة جسم متحرك بواسطة حساب حاصل قسمة المسافة على الزمن. في هذه الحالة فإن كلاً من المسافة والزمن هما كميتان فيزيائيتان أساسيتان بينما السرعة فهي كمية فيزيائية مشتقة Derived Physical Quantity.

تسمى هذه الطريقة من التعريف بالتعريف الإجرائي Operational Definition. وبالتالي تعتمد على وصف طريقة القياس لأية كمية فيزيائية. هناك كميات فيزيائية كثيرة تعتمد على هذه الطريقة من التعريف وهذه هي الكميات الأساسية فمثلاً في علم الميكانيكا فإن الكميات الأساسية التي سنستخدمها هي الكتلة والطول والزمن.


http://www.hazemsakeek.com/Physics_Lectures/Mechanics/mechanicsimages/lect%2013.jpg


Unit systems

Two systems of units are widely used in the world, the metric and the British systems. The metric system measures the length in meters whereas the British system makes use of the foot, inch, ….. The metric system is the most widely used. Therefore the metric system will be used in this book.

By international agreement the metric system was formalized in 1971 into the International System of Units (SI). There are seven basic units in the SI as shown in table 1.3. “For this book only three units are used, the meter, kilogram, and second”.

Mass

The SI unit of mass is the Kilogram, which is defined as the mass of a specific platinum-iridium alloy cylinder.

Time

The SI unit of time is the Second, which is the time required for a cesium-133 atom to undergo 9192631770 vibrations.

Length

The SI unit of length is Meter, which is the distance traveled by light is vacuum during a time of 1/2999792458 second.



Units of Length

تعتبر وحدة قياس المسافة (الكيلومتر) كبيرة في بعض الأحيان فمثلاً لقياس طول غرفة الدراسة أو قياس مسافة عرض الشارع فإنه يمكن استخدام وحدات مشتقة مثل المتر أو السنتمتر أو الميليمتر، أما في حالة قياس مسافات ذرية فإننا نستخدم وحدات أصغر مثل الأنجسترم. الجدول التالي يوضح قيمة وحدات المسافة المشتقة بالمتر.


http://www.hazemsakeek.com/Physics_Lectures/Mechanics/mechanicsimages/lect%2014.gif


Derived quantities

All physical quantities measured by physicists can be expressed in terms of the three basic unit of length, mass, and time. For example, speed is simply length divided by time, and the force is actually mass multiplied by length divided by time squared.



[Speed] = L/T = LT-1

[Force] = ML/T2 = MLT-2

where [Speed] is meant to indicate the unit of speed, and M, L, and T represents mass, length, and time units.





Dimensional Analysis

The word dimension in physics indicates the physical nature of the quantity. For example the distance has a dimension of length, and the speed has a dimension of length/time.



The dimensional analysis is used to check the formula, since the dimension of the left hand side and the right hand side of the formula must be the same.

تستخدم تحليل الأبعاد Dimensional Analysis في التأكد من صحة المعادلات والعلاقات الرياضية المشتقة في الفيزياء حيث أن وحدة الطرف الأيمن للمعادلة يجب أن يساوي وحدة الطرف الأيسر للمعادلة، وإلا فإن المعادلة غير صحيحة.


--------------------------------------------------------------------------------

Example

Using the dimensional analysis check that this equation x = ½ at2 is correct, where x is the distance, a is the acceleration and t is the time.



Solution

x = ½ at2

الطرف الأيسر للمعادلة له بعد طول، ولكي تكون المعادلة صحيحة فإن الطرف الأيمن يجب أن يكون له بعد طول أيضاً، وللتحقق من صحة المعادلة نستخدم تحليل الأبعاد لطرفي المعادلة.

http://www.hazemsakeek.com/Physics_Lectures/Mechanics/mechanicsimages/lect%2011.gif

This equation is correct because the dimension of the left and right side of the equation have the same dimensions.


--------------------------------------------------------------------------------

Example

Show that the expression v = vo + at is dimensionally correct, where v and vo are the velocities and a is the acceleration, and t is the time

Solution



The right hand side

[v] = L/T

The left hand side



Therefore, the expression is dimensionally correct.


--------------------------------------------------------------------------------

Example

Suppose that the acceleration of a particle moving in circle of radius r with uniform velocity v is proportional to the rn and vm. Use the dimensional analysis to determine the power n and m.

Solution

Let us assume a is represented in this expression

a = k rn vm

Where k is the proportionality constant of dimensionless unit.

The right hand side

[a] = L/T2

The left hand side

http://www.hazemsakeek.com/Physics_Lectures/Mechanics/mechanicsimages/lect%2013.gif

hence

n+m=1 and m=2

Therefore. n =-1 and the acceleration a is

a = k r-1 v2

k = 1

a= v2/r

[أحمد سعد الدين]

علم المتجهات

Vector and Scalar



جميع الكميات الفيزيائية (أساسية أو مشتقة) يمكن تقسيمها إلى نوعين، الأول الكمية القياسية scalar والثانية الكمية المتجهة vector . الكمية القياسية يمكن تحديدها بمقدارها فقط، مثل أن تقول أن كتلة جسم 5kg. أما الكمية المتجهة تحتاج إلى أن تحدد اتجاهها بالإضافة إلى مقدارها، مثل سرعة الرياح 10km/h غرباً.

في الجدول التالي قائمة ببعض الكميات القياسية والكميات المتجهة.

Scalar Quantity Vector Quantity
Length Displacement

Mass Force
Speed Acceleration



Coordinate system

نحتاج في حياتنا العملية إلى تحديد موقع جسم ما في الفراغ سواءً كان ساكناً أم متحركاً، ولتحديد موقع هذا الجسم فإننا نستعين بما يعرف بالإحداثيات Coordinates، وهناك نوعان من الإحداثيات التي سوف نستخدمها في هذا الكتاب وهما Rectangular coordinates و polar coordinates.

The rectangular coordinates

The rectangular coordinate system in two dimensions is shown in Figure 1.1. This coordinate system is consist of a fixed reference point (0,0) which called the origin. A set of axis with appropriate scale and label.

http://www.hazemsakeek.com/Physics_Lectures/Mechanics/mechanicsimages/lect%2024.gif

The polar coordinates

Sometimes it is more convenient to use the polar coordinate system (r,q), where r is the distance from the origin to the point of rectangular coordinate (x,y), and q is the angle between r and the x axis.

http://www.hazemsakeek.com/Physics_Lectures/Mechanics/mechanicsimages/lect%2025.gif


The relation between coordinates

The relation between the rectangular coordinates (x,y) and the polar coordinates

(r,q) is shown in Figure 1.3, where,

http://www.hazemsakeek.com/Physics_Lectures/Mechanics/mechanicsimages/lect%2026.gif

x = r cos q (1.1)

And

y = r sin q (1.2)

Squaring and adding equations (1.1) and (1.2) we get

http://www.hazemsakeek.com/Physics_Lectures/Mechanics/mechanicsimages/lect%2027.gif (1.4)



Properties of Vectors

Vector addition

Only vectors representing the same physical quantities can be added. To add vector A to vector B as shown in Figure 1.5, the resultant vector R is

R= A + B (1.5)

Notice that the vector addition obeys the commutative law, i.e.

A + B = B + A (1.6)



The unit vector

A unit vector is a vector having a magnitude of unity and its used to describe a direction in space.



المتجه A يمكن تمثيله بمقدار المتجه A ضرب متجه الوحدةa كالتالي

A = a A (1.10)



كذلك يمكن تمثيل متجهات وحدة (i, j, k) لمحاور الإسناد المتعامدة rectangular coordinate system x, y, z) كما في الشكل التالي:-

http://www.hazemsakeek.com/Physics_Lectures/Mechanics/mechanicsimages/lect%2028.gif

[أحمد سعد الدين]

http://www.hazemsakeek.com/Physics_Lectures/Mechanics/mechanicsimages/lect%2021.gif


Product of a vector

There are two kinds of vector product the first one is called scalar product or dot product because the result of the product is a scalar quantity. The second is called vector product or cross product because the result is a vector perpendicular to the plane of the two vectors.

ينتج من الضرب القياسي كمية قياسية وينتج من الضرب الإتجاهي كمية متجهة

The scalar product
يعرف الضرب القياسي scalar product بالضرب النقطي dot product وتكون نتيجة الضرب القياسي لمتجهين كمية قياسية، وتكون هذه القيمة موجبة إذا كانت الزاوية المحصورة بين المتجهين بين 0 و 90 درجة وتكون النتيجة سالبة إذا كانت الزاوية المحصورة بين المتجهين بين 90 و 180 درجة وتساوي صفراً إذا كانت الزاوية 90.

يعرف الضرب القياسي لمتجهين بحاصل ضرب مقدار المتجه الأول في مقدار المتجه الثاني في جيب تمام الزاوية المحصورة بينهما

http://www.hazemsakeek.com/Physics_Lectures/Mechanics/mechanicsimages/lect%2022.gif (1.16)

يمكن إيجاد قيمة الضرب القياسي لمتجهين باستخدام مركبات كل متجه كما يلي:

http://www.hazemsakeek.com/Physics_Lectures/Mechanics/mechanicsimages/lect%2023.gif

The scalar product is

http://www.hazemsakeek.com/Physics_Lectures/Mechanics/mechanicsimages/lect%2029.gif

http://www.hazemsakeek.com/Physics_Lectures/Mechanics/mechanicsimages/lect%2030.gif


The vector product
يعرف الضرب الاتجاهي vector product بـ cross product وتكون نتيجة الضرب الاتجاهي لمتجهين كمية متجهة. كما في الشكل التالي:

http://www.hazemsakeek.com/Physics_Lectures/Mechanics/mechanicsimages/lect%2031.gif

http://www.hazemsakeek.com/Physics_Lectures/Mechanics/mechanicsimages/lect%2032.gif

To evaluate this product we use the fact that the angle between the unit vectors i, j , k is 90o.

http://www.hazemsakeek.com/Physics_Lectures/Mechanics/mechanicsimages/lect%2033.gif

http://www.hazemsakeek.com/Physics_Lectures/Mechanics/mechanicsimages/lect%2034.gif

[أحمد سعد الدين]

علم الميكانيكا



علم الميكانيكا من العلوم الواسعة التي تهتم بحركة الأجسام ومسبباتها، ويتفرع من هذا العلم فروع أخرى مثل الكينماتيكا Kinematics و الديناميكا Dynamics. وعلم الكينماتيكا يهتم بوصف حركة الأجسام دون النظر إلى مسبباتها، أما علم الديناميكا Dynamics فهو يدرس حركة الأجسام ومسبباتها مثل القوة والكتلة. وفي هذا الفصل سنقوم بدراسة حركة الأجسام وعلاقتها بكل من الإحداثيات المكانية والزمنية. ثم سندرس الفرع الثاني وهو علم الديناميكا.

http://www.hazemsakeek.com/Physics_Lectures/Mechanics/mechanicsimages/lect%2031.jpg


The position vector and the displacement vector

من أساسيات دراسة علم وصف الحركة الكينماتيكا Kinematics للأجسام المادية هو دراسة كل من الإزاحةDisplacement والسرعة Velocity والعجلة Acceleration. ونحتاج هنا إلى اعتماد محاور إسناد لتحديد موضع الجسم المتحرك عند أزمنة مختلفة ومن المناسب اعتماد محاور الإسناد الكارتيزية أو ما سميت بـ rectangular coordinate (x,y,z)، فمثلاً نحتاج إلى تحديد موقع جسم ما إلى إسناده إلى مرجعية محددة فمثلاً يمكن اعتبار متجه الموضع Position vector هو المتجه الواصل من مركز إسناد معين إلى مكان الجسم الذي يراد تحديده. كما في الشكل 2.1 حيث تم اعتبار مركز الإسناد في بعدين فقط هو مركز المحاور x, y

http://www.hazemsakeek.com/Physics_Lectures/Mechanics/mechanicsimages/lect%2032.jpg

في الشكل 2.1 متجه الموضع r1 يحدد موضع الجسم عند بداية الحركة ومتجه الموضع r2 يحدد موقع الجسم النهائي بعد زمن وقدره Dt=t2-t1 وهنا فإن الإزاحة للجسم تعطى بالمعادلة (2.3)



r1 = x1i + y2j

r2 = x2i + y2j

Dr = r2 - r1



Dr is called the displacement vector which represent the change in the position vector.





لاحظ أن الإزاحة displacement Dr تعتمد على المسافة بين نقطتي البداية والنهاية فقط ولا تعتمد على المسار الذي يسلكه الجسم.




--------------------------------------------------------------------------------

Example

Write the position vector for a particle in the rectangular coordinate (x, y, z) for the points (5, -6, 0), (5, -4), and (-1, 3, 6).



Solution

For the point (5, -6, 0) the position vector is r = 5i - 6j

For the point (5, -4) the position vector is r = 5i -4j

For the point (-1, 3, 6) the position vector is r = -i + 3j +6k


--------------------------------------------------------------------------------



The average velocity and Instantaneous velocity

عند انتقال الجسم من موضع البداية عند الزمن t1 إلى موضع النهاية t2 فإن حاصل قسمة الإزاحة على فرق الزمن Dt =t2-t1 يعرف بالسرعة Velocity وحيث أن الجسم يقطع المسافة بسرعات مختلفة فإن السرعة المحسوبة تسمى بمتوسط السرعة Average velocity. ويمكن تعريف السرعة عند أية لحظة بالسرعة اللحظية Instantaneous velocity.



The average velocity of a particle is defined as the ratio of the displacement to the time interval.

http://www.hazemsakeek.com/Physics_Lectures/Mechanics/mechanicsimages/lect%2035.gif

The instantaneous velocity of a particle is defined as the limit of the average velocity as the time interval approaches zero.

http://www.hazemsakeek.com/Physics_Lectures/Mechanics/mechanicsimages/lect%2036.gif



The unit of the velocity is (m/s)


--------------------------------------------------------------------------------



The average acceleration and Instantaneous acceleration

عند انتقال الجسم من موضع البداية عند الزمن t1 إلى موضع النهاية t2 بسرعة ابتدائية v1 وعند النهاية كانت السرعة v2 فإن معدل تغير السرعة بالنسبة إلى الزمن يعرف باسم التسارع Acceleration أو متوسط التسارع Average Acceleration، ويكون التسارع اللحظي Instantaneous acceleration هو السرعة اللحظية على الزمن.

The average acceleration of a particle is defined as the ratio of the change in the instantaneous velocity to the time interval.

http://www.hazemsakeek.com/Physics_Lectures/Mechanics/mechanicsimages/lect%2037.gif

The instantaneous acceleration is defined as the limiting value of the ratio of the average velocity to the time interval as the time approaches zero.

http://www.hazemsakeek.com/Physics_Lectures/Mechanics/mechanicsimages/lect%2038.gif

The unit of the acceleration is (m/s2

[أحمد سعد الدين]

http://www.hazemsakeek.com/Physics_Lectures/Mechanics/mechanicsimages/lect%2045.gif



One-dimensional motion with constant acceleration



سندرس الآن الحركة في بعد واحد وذلك فقط عندما تكون العجلة ثابتة constant acceleration. وفى هذه الحالة تكون العجلة اللحظية Instantaneous acceleration تساوى متوسط العجلة Average acceleration. ونتيجة لذلك فإن السرعة إما أن تتزايد أو تتناقص بمعدلات متساوية خلال الحركة.

ويعبر عن ذلك رياضياً على النحو التالي:-
Instantaneous acceleration = Average acceleration

http://www.hazemsakeek.com/Physics_Lectures/Mechanics/mechanicsimages/lect%2046.gif

Let to = 0 then the acceleration

http://www.hazemsakeek.com/Physics_Lectures/Mechanics/mechanicsimages/lect%2047.gif

or

v = vo + at

إذا كانت العجلة تساوي صفراً فإن السرعة لا تعتمد على الزمن، وهذا يعني أن السرعة النهائية تساوي السرعة الابتدائية. لاحظ أيضاً أن كل حد من حدود المعادلة السابقة له بعد سرعة

http://www.hazemsakeek.com/Physics_Lectures/Mechanics/mechanicsimages/lect%2048.gif

يوضح الشكل أعلاه تأثير عجلة ثابتة مقدارها -5m/s2 في تقليل السرعة بمقدار 5m/s كل ثانية.

Since the velocity varies linearly (خطي) with time we can express the average velocity as

http://www.hazemsakeek.com/Physics_Lectures/Mechanics/mechanicsimages/lect%2049.gif


To find the displacement Dx (x-xo) as a function of time

http://www.hazemsakeek.com/Physics_Lectures/Mechanics/mechanicsimages/lect%20410.gif

or


http://www.hazemsakeek.com/Physics_Lectures/Mechanics/mechanicsimages/lect%20411.gif


Also we can obtain the following equations

http://www.hazemsakeek.com/Physics_Lectures/Mechanics/mechanicsimages/lect%20412.gif


من المعادلة السابقة نلاحظ أن المسافة المقطوعة (x-xo) تساوي المسافة المقطوعة نتيجة السرعة الابتدائية وهو الحد vot بالإضافة إلى المسافة نتيجة للعجلة الثابتة، وهذا يظهر في الحد الأخير من المعادلة 1/2at2، وإن كل حد من حدود المعادلة له بعد مسافة (m).

لاحظ أيضاً أنه إذا كانت العجلة تساوي صفراً فإن المسافة المقطوعة تساوي السرعة في الزمن.

x - xo = vot

إذا كانت السرعة الابتدائية تساوي صفراً تكون المسافة المقطوعة تساوي

x - xo = 1/2 a t 2

Application of one-dimensional motion with constant acceleration (Free Fall)



من التطبيقات الهامة على العجلة الثابتة constant acceleration السقوط الحر Free fall تحت تأثير عجلة الجاذبية الأرضية g حيث أن عجلة الجاذبية الأرضية ثابتة نسبياً على ارتفاعات محدودة من سطح الأرض واتجاهها دائما في اتجاه مركز الأرض، وبالتالي يمكن استخدام المعادلات الأربع السابقة مع تغيير الرمز x بالرمز y وكذلك التعويض عن العجلة a بعجلة الجاذبية الأرضية بإشارة سالبة -g وذلك لأن عجلة الجاذبة الأرضية دائماً في اتجاه مركز الأرض وهذا يعبر عنه من خلال المحور y السالب كما في الشكل

http://www.hazemsakeek.com/Physics_Lectures/Mechanics/mechanicsimages/lect%20413.gif

v = vo - g t

y = yo + 1/2 (v+vo)t

y = yo + vo t - 1/2 g t2

v2 = vo2 - 2g (y-yo)

[أحمد سعد الدين]

Example


A stone is dropped from rest from the top of a building, as shown in Figure 2.4. After 3s of free fall, what is the displacement y of the stone?

http://www.hazemsakeek.com/Physics_Lectures/Mechanics/mechanicsimages/lect%20414.gif




Solution

From equation

y = yo + vo t - 1/2 g t2

y = 0 + 0 - (9.8) × (3)2 = -44.1m


--------------------------------------------------------------------------------



Example

A stone is thrown upwards from the edge of a cliff 18m high as shown in Figure 2.5. It just misses the cliff on the way down and hits the ground below with a speed of 18.8m/s.

(a) With what velocity was it released?

(b) What is its maximum distance from the ground during its flight?


http://www.hazemsakeek.com/Physics_Lectures/Mechanics/mechanicsimages/lect%20415.gif


Solution

Let yo = 0 at the top of the cliff.

(a) From equation

v2 = vo2 - 2g (y-yo)

(18.8) 2 = vo2 - 2´9.8´18

vo2 = 0.8 m/s

(b) The maximum height reached by the stone is h




--------------------------------------------------------------------------------



Example

A student throws a set of keys vertically upward to another student in a window 4m above as shown in Figure 2.6. The keys are caught 1.5s later by the student.

(a) With what initial velocity were the keys thrown?

(b) What was the velocity of the keys just before they were caught?


http://www.hazemsakeek.com/Physics_Lectures/Mechanics/mechanicsimages/lect%20417.gif


Solution

(a) Let yo=0 and y=4m at t=1.5s then we find

y = yo + vo t - 1/2 g t2

4 = 0 + 1.5 vo - 4.9 (1.5)2

vo = 10 m/s



(b) The velocity at any time t > 0 is given by

v = vo + at

v= 10 - 9.8 (1.5) = -4.68 m/s

[أحمد سعد الدين]

http://www.hazemsakeek.com/Physics_Lectures/Mechanics/mechanicsimages/lect%20518.gif



Motion in two dimensions

Motion in two dimensions like the motion of projectiles and satellites and the motion of charged particles in electric fields. Here we shall treat the motion in plane with constant acceleration and uniform circular motion.



درسنا في الفصل السابق الحركة في بعد واحد أي عندما يتحرك الجسم في خط مستقيم على محور x أو أن يسقط الجسم سقوطاً حراً في محور y، سندرس الآن حركة جسم في بعدين أي في كل من x,y مثل حركة المقذوفات حيث يكون للإزاحة والسرعة مركبتان في اتجاه المحور x والمحور y.



Motion in two dimension with constant acceleration

Assume that the magnitude and direction of the acceleration remain unchanged during the motion.

The position vector for a particle moving in two dimensions (xy plane) can be written as

http://www.hazemsakeek.com/Physics_Lectures/Mechanics/mechanicsimages/lect%2051.gif

where x, y, and r change with time as the particle moves

The velocity of the particle is given by

http://www.hazemsakeek.com/Physics_Lectures/Mechanics/mechanicsimages/lect%2052.gif


Since the acceleration is constant then we can substitute

vx = vxo + axt vy = vyo + ayt

this give

v = (vxo + axt)i + (vyo + ayt)j

= (vxo i + vyo j) + (ax i + ayj) t

then

v = vo + a t (***)

من المعادلة (***) نستنتج أن سرعة جسم عند زمن محدد t يساوى الجمع الاتجاهى للسرعة الابتدائية والسرعة الناتجة من العجلة المنتظمة.

Since our particle moves in two dimension x and y with constant acceleration then



x = xo + vxo t + 1/2 ax t 2 & y = yo + vyo t - 1/2 ay t 2

but

r = xi + yj



r = (xo + vxo t + 1/2 a t 2)i + (yo + vyo t - 1/2 g t 2)j

= (xo i + yo j) + (vxoi+ vyoj)t +1/2 (axi+ ayj)t 2

r = ro + vot + 1/2 a t 2 (###)

من المعادلة (###) نستنتج أن متجه الإزاحة r-ro هو عبارة عن الجمع الإتجاهى لمتجه الإزاحة الناتج عن السرعة الابتدائية vot والإزاحة الناتجة عن العجلة المنتظمة .1/2 a t 2.

Projectile motion

تعتبر حركة المقذوفات Projectile motion من الأمثلة على الحركة في بعدين، وسوف نقوم بإيجاد معادلات الحركة للمقذوفات لتحديد الإزاحة الأفقية والرأسية والسرعة والعجلة من خلال العديد من الأمثلة.



Example

A good example of the motion in two dimension it the motion of projectile. To analyze this motion lets assume that at time t=0 the projectile start at the point xo=yo=0 with initial velocity vo which makes an angle qo, as shown in Figure 2.5.



http://www.hazemsakeek.com/Physics_Lectures/Mechanics/mechanicsimages/lect%2053.gif


then

vx = vxo = vocosqo = constant

vy = vyo - gt = vosinq o - gt

x = vxo t = (vocosqo)t

y = vyo t - 1/ g t2 = (vosinq o)t - 1/2 g t2



Horizontal range and maximum height of a projectile

It is very important to work out the range (R) and the maximum height (h) of the projectile motion.



http://www.hazemsakeek.com/Physics_Lectures/Mechanics/mechanicsimages/lect%2054.gif

To find the maximum height h we use the fact that at the maximum height the vertical velocity vy=0

by substituting in equation

vy = vosinq o - gt


http://www.hazemsakeek.com/Physics_Lectures/Mechanics/mechanicsimages/lect%2055.gif

To find the maximum height h we use the equation

y = (vosinq o)t - 1/2 g t 2

by substituting for the time t1 in the above equation

http://www.hazemsakeek.com/Physics_Lectures/Mechanics/mechanicsimages/lect%2056.gif

المعادلة (الأخيرة)نلاحظ أقصى ارتفاع يصل إليه الجسم المتحرك في بعدين كحركة المقذوفات على عجلة الجاذبية، وعليه فإن المقذوفات على سطح القمر تأخذ مساراً ذا مدى وارتفاع أكبر منه على سطح الأرض كما في الشكل أدناه.

http://www.hazemsakeek.com/Physics_Lectures/Mechanics/mechanicsimages/lect%2057.gif




Example

http://www.hazemsakeek.com/Physics_Lectures/Mechanics/mechanicsimages/lect%2070.gif

Suppose that in the example above the object had been thrown upward at an angle of 37o to the horizontal with a velocity of 10m/s. Where would it land?


Solution

Consider the vertical motion

voy = 6 m/s

ay = -9.8m/s2

y = 20m

To find the time of flight we can use

y = vyo t - 1/2 g t 2

since we take the top of the building is the origin the we substitute for

y = -20m

-20 = 6 t - 1/2 9.8 t 2

t = 2.73s



Consider the horizontal motion

vx = vxo = 8m/s

then the value of x is given by

x = vx t = 22m


--------------------------------------------------------------------------------

Example

In the Figure shown below where will the ball hit the wall

http://www.hazemsakeek.com/Physics_Lectures/Mechanics/mechanicsimages/lect%2060.gif

Solution

vx = vxo = 16m/s

x = 32m

Then the time of flight is given by

x =vt

t =2s

To find the vertical height after 2s we use the relation

y = vyo t - 1/2 g t 2

Where vyo = 12m/s, t =2s

y = 4.4m

Since y is positive value, therefore the ball hit the wall at 4.4m from the ground

To determine whether the ball is going up of down we estimate the velocity and from its direction we can know

vy = vyo - gt

vy = -7.6m/s

Since the final velocity is negative then the ball must be going down.